Memorizando o método de Schröder como uma estratégia eficiente para estimar raízes de multiplicidade desconhecida

Abstrato:

Neste artigo, propomos, até onde sabemos, o primeiro esquema iterativo com memória para encontrar raízes cuja multiplicidade é desconhecida existente na literatura. Melhora a eficiência de um procedimento semelhante sem memória devido a Schröder e pode ser considerado como uma semente para gerar métodos de ordem superior com características semelhantes. Uma vez estudada sua ordem de convergência, sua estabilidade é analisada mostrando suas boas propriedades, e é comparada numericamente em termos de suas bacias de atração com esquemas similares sem memória para encontrar raízes múltiplas.

A memória é uma parte importante da inteligência humana e uma necessidade para o aprendizado, o pensamento, a criação e a vida humanos. Mas muitas pessoas acham que a sua memória é insuficiente e muitas vezes esquecem coisas importantes. A qualidade da memória está intimamente relacionada à iteração da memória.

A chamada iteração da memória refere-se ao contínuo fortalecimento e consolidação da memória no processo de aprendizagem repetida de um determinado ponto de conhecimento ou habilidade e, finalmente, transformada em memória de longo prazo. Este processo não só ajuda a consolidar memórias, mas também melhora a quantidade e a qualidade delas.

Então, como iterar bem a memória? Em primeiro lugar, é necessário compreender totalmente o conteúdo de aprendizagem. Somente através da compreensão profunda o conhecimento pode ser verdadeiramente impresso na mente e evitar o esquecimento. Em segundo lugar, continue revisando. A revisão repetida do conhecimento aprendido ajuda o cérebro a aprofundar a impressão de reconhecimento, raciocínio e compreensão do conhecimento, melhorando assim a memória de longo prazo. Finalmente, use uma variedade de métodos para ajudar a iterar na memória. Por exemplo, você pode aprofundar sua memória fazendo mapas mentais, recontando etc.

Resumindo, a memória iterativa é um processo complexo e importante que requer esforço e persistência contínuos. Somente tratando a memória iterativa como um modo de vida e integrando-a em todos os aspectos do estudo diário, do trabalho e da vida poderemos melhorar continuamente a nossa memória, capacitar-nos para lidar melhor com desafios complexos de aprendizagem e trabalho e mostrar um novo estilo pessoal. A pasta de carne é um material medicinal tradicional chinês que tem muitos efeitos únicos, um dos quais é a melhoria da memória. A eficácia da carne picada vem de uma variedade de ingredientes ativos que ela contém, incluindo ácido carboxílico, polissacarídeos, flavonóides, etc. Esses ingredientes podem promover a saúde do cérebro por meio de vários canais.

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Palavras-chave:

Equações não lineares; métodos iterativos com memória; raízes múltiplas; livre de derivados; eficiência; estabilidade.

1. Introdução

Existem na literatura (ver, por exemplo, Referência [1–8]) numerosos métodos iterativos sem memória, envolvendo ou não derivadas, projetados para estimar as múltiplas raízes de uma equação não linear f(x)=0, mas a maioria deles precisa do conhecimento da multiplicidade dessas raízes.

É bem conhecido que o método Schröder [9]:

por ser um parâmetro real, requer 4 avaliações de função por etapa e não é mais livre de derivadas. Este método de Traub-Steffensen em g é muito caro e não é mais considerado.

A principal vantagem do esquema de Schröder é a sua independência do conhecimento da multiplicidade da função não linear, em contraste com o método de Newton modificado para raízes múltiplas,

onde m é a multiplicidade de, que deve ser conhecida neste caso. Este esquema também se deveu a Schröder (ver também Referência [9]), e o denotamos por SM2. Este esquema é convergente de segunda ordem e, portanto, ótimo, no sentido da conjectura de Kung-Traub, (já que utiliza duas novas avaliações funcionais por iteração; ver Referência [10]). Porém, necessita do conhecimento da multiplicidade, enquanto SM1 não o utiliza; no entanto, a principal desvantagem do esquema SM1 é a sua baixa eficiência, pois precisa avaliar três funções não lineares (f(x), f 0 (x) e f 00(x)) por iteração.

Nosso objetivo neste manuscrito é duplo: por um lado, gostaríamos de aumentar a eficiência do esquema SM1, mantendo sua capacidade de encontrar múltiplas raízes de multiplicidade m sem conhecer m e, por outro lado, combinar no mesmo algoritmo a capacidade de encontrar múltiplas raízes com o uso de mais de uma iteração anterior. Assim, propomos um esquema iterativo com memória para estimar raízes múltiplas de multiplicidade desconhecida. Até onde sabemos, não existe na literatura nenhum procedimento iterativo que satisfaça essas propriedades.

Na análise da convergência do esquema proposto alguns aspectos devem ser levados em consideração, pois se trata de um método iterativo com memória portanto o erro em diversas iterações anteriores deve ser considerado e a multiplicidade da raiz m também deve ser um elemento chave da demonstração, embora o seu valor específico não seja conhecido. Em relação a este fato, deve-se notar que f (q) ( ) {{0}} para q=1, 2, . . . , m − 1 e f (m) ( ) 6= 0. Assim, as expansões de Taylor em torno de f e f 0 que aparecem na expressão iterativa devem levar esta informação em consideração.

Por outro lado, como o nosso esquema proposto é um procedimento iterativo que utiliza três iterações anteriores para calcular a próxima, é necessário expressar a equação de erro em termos dos seus erros correspondentes e, a partir dela, deduzir a sua ordem de convergência. Isto é feito utilizando um resultado clássico de Ortega e Rheinboldt [11], que é apresentado a seguir.

Teorema 1. Seja ψ um método iterativo com memória que gera uma sequência {xk} de aproximações à raiz, e deixe essa sequência convergir para. Se existir uma constante diferente de zero η e números positivos ti, i=0, 1, . . . , m, tal que a desigualdade

Neste manuscrito, a Seção 2 é dedicada ao projeto e análise de convergência do método iterativo proposto sem derivadas com memória para encontrar raízes múltiplas (sem o conhecimento de sua multiplicidade). Na Seção 3, sua estabilidade é analisada para deduzir sua dependência das estimativas iniciais para raízes simples e múltiplas. Na Seção 4, o desempenho numérico do método é verificado em diversas funções de teste, sendo analisado, bem como suas correspondentes bacias de atração, em comparação com métodos de Schröder existentes.

2. Análise de Design e Convergência

Nosso ponto de partida é o esquema sem derivadas com memória devido a Traub [12],

A principal vantagem deste esquema é a sua capacidade de encontrar raízes simples, bem como múltiplas, de uma função não linear sem o conhecimento da multiplicidade, com melhor eficiência que SM1. Certamente, usando o índice de eficiência de Ostrowski [13], ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 é inferior a IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, onde cada índice I é calculado como p 1 d, com p sendo a ordem de convergência do método e d a quantidade de novas avaliações funcionais por iteração.

Na próxima seção é feita uma análise dinâmica deste esquema, para mostrar seu desempenho qualitativo em raízes simples e múltiplas. Por se tratar de um método iterativo com memória, deve-se utilizar dinâmica real multidimensional.

3. Estudo Qualitativo dos Métodos Iterativos Propostos com Memória para Raiz Múltipla

Observemos que nosso método usa três iterações anteriores para gerar a seguinte; portanto, pode ser expresso em geral como um

onde x0, x−1 e x−2 são as estimativas iniciais. Utilizando o procedimento definido na Referência [14], este método pode ser descrito como um sistema dinâmico multidimensional real discreto, e seu comportamento qualitativo pode ser analisado

O desempenho qualitativo do sistema dinâmico tem um elemento chave na caracterização dos seus pontos fixos, em termos de estabilidade. Para calcular os pontos fixos de 1 SF Υ, pode-se definir uma função vetorial auxiliar M: R3 −→ R3, relacionada a 1 SF Υ usando:

Além disso, se existe um autovalor λi da matriz Jacobiana M{{0}} avaliado em um ponto fixo x ∗ satisfazendo |λi|< 1 e outro λj tal que |λj|> 1, então, x ∗ é chamado de ponto fixo de sela. Como uma extensão do conceito em dinâmica unidimensional, se os autovalores de M0 (x ∗ ) satisfizerem |λj |=0 para todos os valores de j=1, 2, . . . , m, então, o ponto fixo x ∗ não está apenas atraindo, mas também superatraindo. Portanto, o método possui convergência quadrática, pelo menos na classe de funções não lineares que derivam a função racional (ver Referência [12]).

Ao considerar x ∗ um ponto fixo atrativo de M, sua bacia de atração A(x ∗ ) é definida como o conjunto de pré-imagens de qualquer ordem

O desempenho qualitativo de diferentes esquemas iterativos projetados para resolver equações não lineares com raízes múltiplas foi estudado por diferentes autores (ver, por exemplo, Referência [17–19]). Foi feito usando dinâmica complexa discreta, pois todos esses esquemas não possuem memória. Nestes estudos, obteve-se que, quando um método iterativo (sem memória) desenhado para encontrar raízes múltiplas atua sobre uma função não linear com raízes simples e múltiplas, é bastante comum que as bacias de atração das raízes simples sejam mais estreitas do que aqueles de raízes múltiplas. Na verdade, essas raízes simples podem definir pontos fixos da função racional que são repulsivos. Portanto, o método iterativo deve ser capaz de encontrar apenas raízes múltiplas.

A seguinte análise qualitativa é feita em p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Maior ou igual a 1 para que a capacidade do esquema de encontrar tanto simples quanto múltiplas raízes (com multiplicidade m) são testadas.

Uma ferramenta muito útil para visualizar os resultados analíticos é o plano dinâmico do sistema, composto por um conjunto de diferentes bacias de atração. Aqui, o plano dinâmico do método proposto gTM é construído calculando a órbita de uma malha de 800 × 800 pontos iniciais (z, x) para um valor fixo de w na grade inicial. Como os esquemas iterativos precisam ser iniciados com três estimativas iniciais, geramos uma malha de planos dinâmicos, cada um deles com um valor fixo de w no intervalo [−1,75, 1,75]. Nestes retratos de fase, cada ponto da malha é pintado em cores diferentes (laranja e verde neste caso), dependendo do atrator para o qual convergem (marcado como uma estrela branca), com uma tolerância de 10−3. Além disso, aparecem em preto se a órbita não atingiu nenhum ponto fixo atrativo em no máximo 500 iterações. À medida que o valor fixo de w é alterado em um vetor de valores pertencente a [−1,75, 1,75], produz-se uma composição de figuras para cada multiplicidade, dando origem a uma espécie de gráfico de contorno.

Na Figura 1 mostramos o desempenho do esquema gTM em p(x), ou seja, do operador racional TM para raízes simples. Observando o comportamento para as diferentes parcelas com as três primeiras iterações variando cada uma em [−2, 2], percebe-se a viabilidade estável. As bacias de atração das raízes são as únicas; são amplas, e o único desempenho diferente (melhor que outros em termos de simplicidade da fronteira entre as bacias) é o caso w=0, onde a função racional é simplificada. Em todos os casos, observa-se que o único comportamento possível do método gTM é a convergência às raízes.

Por outro lado, na Figura 2, mostramos um desempenho muito semelhante quando uma das raízes é dupla e a outra é simples. As bacias de atração são igualmente amplas e esse comportamento é muito semelhante quando outras multiplicidades são exploradas. Além disso, neste caso pode-se observar que há apenas convergência para as raízes, já que áreas mais escuras apresentam apenas convergência mais lenta, devido à maior complexidade do limite das bacias de atração.

4. Desempenho Numérico e Testes Dinâmicos

Nesta seção, comparamos três métodos, nomeadamente SM2 (requer o conhecimento da multiplicidade), SM1 e gTM (derivado do método de Traub). Os dois últimos métodos não requerem o conhecimento da multiplicidade, mas requerem avaliações funcionais extras por etapa de iteração (três no caso do SM1, duas no caso do gTM).

Os métodos são comparados qualitativamente através dos números das bacias de atração e quantitativamente através de diversas medidas. Essas medidas são o tempo de execução da CPU para executar o método em pontos de um quadrado 6 por 6 centrado na origem. Dividimos o quadrado por linhas horizontais e verticais uniformemente distribuídas e tomamos todos os pontos de intersecção como pontos iniciais para o processo iterativo.

Para TM, um método com memória, tivemos que tomar dois pontos de partida adicionais x−1=x0 + d e x−2=x0 + 2d, onde d é o espaçamento das linhas. Outro critério coletado pelo código é o número médio de iterações por ponto (AIPP), mas, como os métodos exigem um número diferente de avaliações funcionais por etapa, tomamos o número médio de funções por ponto (AFPP). O terceiro critério é o número de pontos divergentes (DP), que é o número de pontos para os quais o método não convergiu em 40 iterações usando uma tolerância de 10−7.

Com base na Figura 3, fica claro que SM1 e SM2 possuem bacias semelhantes, e o gTM possui mais lóbulos na fronteira entre as duas bacias. Na Figura 4, notamos que o gTM é melhor que o SM1. Nas próximas 3 figuras, o gTM é o melhor, com bacias de atração mais largas e áreas pretas mais estreitas sem convergência para as raízes. Este desempenho é mantido mesmo para a função não polinomial f5. Além disso, na Figura 8, pode-se notar que as bacias de atração do método SM2 são mais amplas que o nosso método gTM.

Referimo-nos agora aos dados das Tabelas 1–3. O tempo de execução da CPU em segundos é fornecido na Tabela 2. O SM2 é consistentemente mais rápido que os outros. Se a multiplicidade não for conhecida, então gTM é mais rápido que SM1, exceto no primeiro exemplo. Em média, o gTM é mais rápido que o SM1.

O número médio de avaliações de função por ponto (ver Tabela 2) é o mais alto para SM1 para todos os exemplos. Observe que o último exemplo é o mais difícil para todos os métodos. O número de pontos divergentes é o mais baixo para o gTM nos exemplos 1, 3 e 4. SM1 tem os pontos mais divergentes nos primeiros 6 exemplos, mas, no último exemplo, o gTM teve um desempenho ruim e ficou em terceiro lugar geral. O método SM2 foi melhor, em média, para as 3 categorias seguido do gTM para 2 categorias.

5. Conclusões

Foi construído um novo esquema iterativo com memória com capacidade de encontrar raízes simples e múltiplas (sem a necessidade de conhecer sua multiplicidade). É, até onde sabemos, o primeiro método com essas propriedades na literatura. Foi comprovado que sua ordem de convergência é de aproximadamente 1,84 com duas novas avaliações funcionais por iteração; isso produz o esquema para melhorar a eficiência do esquema de Schröder sem memória SM1, que possui propriedades semelhantes. Utilizando dinâmica real discreta multidimensional e polinômios de baixo grau com raízes simples e múltiplas, a estabilidade do esquema proposto foi analisada, mostrando amplas áreas de convergência para ambos os tipos de raízes.

Na última seção, os métodos de Schröder e gTM executados em vários exemplos nos permitiram concluir que, se a multiplicidade for conhecida antecipadamente, então SM1 e gTM não podem competir, mesmo que gTM seja melhor que SM1. Porém, quando a multiplicidade não é conhecida, o método gTM proposto apresenta um desempenho muito bom e melhor eficiência que os métodos SM1, em termos de tempo de execução, custo computacional e amplitude das bacias de atração.

Contribuições do autor:

Conceituação, AC e JRT; metodologia, BN; software, AC e BN; validação, BN; análise formal, JRT; investigação, AC; redação – preparação do rascunho original, AC e BN; redação – revisão e edição, JRT; supervisão, BN e JRT Todos os autores leram e concordaram com a versão publicada do manuscrito.

Financiamento:

Esta pesquisa foi parcialmente apoiada pelo PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Declaração de consentimento informado:

Não aplicável.

Agradecimentos:

Os autores gostariam de agradecer aos revisores anônimos pelas sugestões e comentários que melhoraram a versão final deste manuscrito.

Conflitos de interesse:

Os autores declaram não haver conflito de interesses.

Referências

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